如何证明余弦定理

余弦定理（Cosine Theorem）是平面几何中一个重要定理，适用于任意三角形。它的表述是： 对于三角形 \(ABC\)，设边长分别为 \(a = BC\)、\(b = AC\)、\(c = AB\)，并设角 \(C\) 对应边 \(c\)，那么有 \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \] 下面给出余弦定理的一个经典证明方法： --- ### 证明（利用坐标法） 1. **设定坐标系** 在平面上建立坐标系，令点 \(C\) 置于坐标原点 \(O(0,0)\)，点 \(B\) 在 \(x\)-轴正方向，且 \(CB = a\)，因此点 \(B\) 坐标为 \((a, 0)\)。 2. **确定点 \(A\) 的坐标** 设角 \(C\) 是夹在边 \(a = BC\) 和 \(b = AC\) 之间的角，设线段 \(AC = b\) 与 \(x\)-轴正方向的夹角为 \(\theta = \angle ACB\)，即 \(\theta = C\)。 故点 \(A\) 坐标为： \[ A = (b \cos \theta, b \sin \theta) \] 3. **计算边 \(AB\) 长度** 边 \(c = AB\) 的长度为两点距离： \[ c = |AB| = \sqrt{(b \cos \theta - a)^2 + (b \sin \theta - 0)^2} \] 计算平方： \[ c^2 = (b \cos \theta - a)^2 + (b \sin \theta)^2 = (b \cos \theta)^2 - 2ab \cos \theta + a^2 + b^2 \sin^2 \theta \] 注意： \[ (b \cos \theta)^2 + (b \sin \theta)^2 = b^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = b^2 \] 所以将其整理： \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta \] 4. **结论** 由于 \(\theta = \angle C\)，证明了余弦定理： \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \] --- ### 总结 余弦定理可被看做是勾股定理的推广，利用坐标计算距离的方法，将三角